【数学雑学】0~9までの数字をどの順番で並べても9で割り切れるのはなぜ？

今回は、ちょっと面白い数字にまつわる
雑学を紹介していきたいと思います！！
雑学なので、知ってても役には立たないけど
結構面白い内容になってるので、
是非ご覧ください！！

0~9までの数字をどう並べても必ず9で割り切れる

昔「トリビアの泉」というテレビ番組で
紹介されていたので知っている方も多い
かもしれません。

0~9までの数字を1回づつランダムで並べた場合
その数字はどの組み合わせでも9で割り切れる
というものです。
例えば

1,234,567,890と順番に並べたものを
9で割ると137,174,210となり、
余りは出ません

今は1から順番に並べましたが、この順番を
ランダムに並べ替えたとしても、必ず9で
割り切れる数字になるということです。

実際に計算してみよう

9,510,836,724÷9=1,056,759,636
4,829,013,765÷9=536,557,085
7,159,632,084÷9=795,514,676

と、乱数で適当に並べた数字をいくつか計算
してみましたが、全て余りはありませんでした。

(全パターンやろうとすると、326万通りくらい
あるので、全部は勘弁してください😅）

と、疑問に思われるでしょう。
次になぜ断言できるかを解説していきます。

0~9の並び替えが全て9で割り切れる理由

これには、この数字の法則が当てはまるからです。

各桁の数の和が9の倍数なら
その数は9の倍数である

実際に0~9までの数を足すと

0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

つまり、9の倍数だと言うことがわかります。

各桁の数の和が9の倍数ならなぜ、9で割り切れるのか

今回の雑学の最後として、

各桁の数の和が9の倍数なら
その数は9の倍数である

これがなぜ成立するかを証明して行きましょう

まず初めに10,20,30,40,50,60,70,80,90
をそれぞれ9で割ってみます

10÷9=1余り1
20÷9=2余り2
30÷9=3余り3
40÷9=4余り4
50÷9=5余り5
60÷9=6余り6
70÷9=7余り7
80÷9=8余り8
90÷9=10余り0

90は9の倍数なので、余りはありませんが、
それ以外の数は10の位の数がそのまま余りに
なっているのがわかりますね。
同様に100,200,300,400,500,600,700,800,900
も試してみましょう。

100÷9=11余り1
200÷9=22余り2
300÷9=33余り3
400÷9=44余り4
500÷9=55余り5
600÷9=66余り6
700÷9=77余り7
800÷9=88余り8
900÷9=100余り0

こちらも先ほどと同様に900以外は100の位の
数がそのまま余りになっています。

この法則は、位がどれだけ上がっても同じため

各桁の数の和とは
各桁毎に9で割った後の余りと等しい

となります。
(※9だけは割り切れるので0になります）

この法則を踏まえて、1,234,567,890を
桁毎に分解して9で割ってみると

1000000000÷9=111111111余り1
200000000÷9=22222222余り2
30000000÷9=3333333余り3
4000000÷9=444444余り4
500000÷9=55555余り5
60000÷9=6666余り6
7000÷9=777余り7
800÷9=88余り8
90÷9=10余り0
0÷9=0

それぞれの余りを全て足すと36となり、
これは9で割り切れるため、最終的に余り0
となります。

まとめ

今回は数字の雑学ということで、9の倍数に
ついての法則を、例をもとに紹介してみました
冒頭にも書いた通り、
この知識が実生活で役に立つことは無いでしょう
ですが、このようなちょっとしたことが
身の回りの面白いものに目を向けるキッカケに
なったら良いなと思っています。

今後も、面白いと思った雑学を紹介して行きますので、
よかったらご覧ください！