【数学雑学】11の倍数に秘められた意外な法則を紹介

11の倍数の意外な法則

皆さんは普段生活している中で、ふと見かけた
数が11の倍数かどうかを気にしたことはありますか？

恐らく、99.9%の人が「気にしたことは無い」
と答えると思いますが、この法則を知ると、
10人に1人くらいは、ふと見かけた数が
11の倍数かどうかを気にするようになるかも
しれません。

この11の倍数の法則とは以下のようになります

奇数番目の桁数の合計と
(1桁目、３桁目、5桁目・・・）
偶数番目の桁数の合計の
(2桁目、4桁目、6桁目・・・）
差が11の倍数の時(0も含む)
その数は11の倍数である

と思った方も多いかもしれません。
実際、文章で書くとややこしそうですよね。
そこで、実際の数字を使ってこの法則が
正しいのかを検証して行きましょう！

実際に計算してみる

この記事を書いているのが2022年2月17日
なので、「20220217」が11の倍数なのかを
計算してみましょう！

偶数番目の桁数の和5と
奇数番目の桁数の和11の差は
5-11=6となり、6は11の倍数では無いため
「20220217」は11の倍数では無いとなります

これだけだと、判断が出来ないと思いますので
もう1つ例を出してみます。
先日私が乗っている車を車検に出したところ、
費用が89,111円かかりました。
この金額は11の倍数なのか検証して行きます。

今回は、奇数番目と偶数番目の桁数の和が
等しく10になっているため、

10-10=0となり、89111は11の倍数
であると言えますね。

なぜこの法則が成り立つのか

この法則の解説として、11という数の性質を
考えて行きましょう。

11を分解すると「10+1」となり、
1桁目,、2桁目共に1が入ります。
22、33、44といった11の倍数も
同様で1桁目、2桁目に同じ数が
足されて行きます。

10倍である110の場合は2桁目と3桁目に同じ数
100倍の1100の場合は3桁目と4桁目に同じ数
というように、桁数が増えても、
奇数番目と偶数番目に同じ数が増えていく
性質は変わりません。

先程の89,111を11で割ると8101だったので
8000×11+100×11+1×11と分けて考えると

8000×11=88000
100×11=1100
1×11=11

このように、奇数番目と偶数番目の数が等しい
数の集合ということが分かりますね。

余談：偶数の回文数と11の関係性

おまけコーナーのお時間です。
みなさんは「回文数」という言葉を知っていますか？

「回文」とは、上から読んでも
下から読んでも同じ言葉になる文章。
（例：しんぶんし、たけやぶやけた、
世の中ね顔かお金かなのよ、などなど）

実は数学の世界では、上から読んでも下から
読んでも同じ数になるものを「回文数」と呼ぶ
ことがあります。
(例:121,343,12321　などなど)
桁数が偶数(2桁、4桁、6桁など）の回文数は
必ず11の倍数になるという法則があります。

例えば「12,344,321」
という数で調べてみると

・奇数番目の桁数の和
1+3+4+2=10
・偶数番目の桁数の和
2+4+3+1=10

このように、それぞれの桁数の和が等しくなります。
これは、桁数が増えても変わりません。
そのため、11は
偶数の回文数の中で唯一の素数
と呼ばれています。